Природные Фракталы — способ познания Реальности

Фракталы — Красота Повтора

Фрактал — это фигура, обладающая свойством самоподобия, то есть самоповторения, когда отдельные части фигуры повторяют форму и свойства всей фигуры в целом. Важным аспектом является именно момент схожести, а не полной идентичности. И сходство это не зависит от масштаба рассмотрения, т.е. рассматривать в микроскоп или смотреть на фигуру издалека, все равно будет видно повторяющиеся формы.

Фракталы. Красота Природы

Принцип фрактальности заложен в устройстве самой Природы, где из одного семени или из одной клетки путём многократного дробления создаётся новая структура, похожая, но не идентичная первоначальной.

Природа создаёт удивительные и прекрасные фракталы, с безупречной геометрией и идеальной гармонией. Природа сама создана из самоподобных фигур, просто мы этого не замечаем.

Человек тоже весь построен на основе фракталов: кровеносные сосуды, лёгкие, бронхи имеют фрактальную природу. Посмотрите через увеличительное стекло на свою кожу, и вы увидите фракталы.

Примеров фракталов можно привести массу, потому что, они окружают нас повсюду. Самыми интересными, простыми и популярными фрактальными свойствами в природе обладают — кроны деревьев, цветная капуста, облака, кровеносная система человека и животных, кристаллы, снежинки, горные хребты, берега рек, морозные узоры на стекле, многие растения и морские раковины.

Галактика и Вселенные тоже фракталы и обладают свойством самоподобия. Например, Планеты объединяются в Планетарные Системы, Планетарные Системы — в Галактики, Галактики — в Кластеры, Кластеры — в Суперкластеры и так далее до бесконечности. Вселенная складывается, как матрёшка, и все её составные части выглядят примерно так же.

Человек — это фрактал Вселенной — микрокосмос, разумная клетка Вселенной, которая способна включиться в активную работу, используя свои уникальные данные, записанные во фрактальной структуре человеческой ДНК.

Всё, что окружает нас, ближний и дальний Космос, являются фракталом. Мы с вами тоже. Бесконечное самоподобие. И если понять принцип фрактальности — открывается огромнейший горизонт для нового взгляда на мир и на место человека в нём.

Фракталы в Природе. Примеры

Мозг – одно из самых удивительных и уникальных творений природы. Оказывается, что внешне он имеет те же фрактальные признаки, что и атмосферная облачность или корневая система крапивы.

Выраженной фрактальной структурой обладают дендриты — отростки от нейронов. При увеличении видно, что каждый из них имеет свои отростки, от которых, в свою очередь, отходят еще более мелкие.

Космические фотографии земных ландшафтов часто дают отличные примеры фракталов. Горные и водные системы, русла рек, побережья — практически всё, что особенно хорошо видно на космических снимках, обладает фрактальной структурой.

Папоротники — пример природных фракталов, которые очень похожи на компьютерные фракталы. Папоротники — одни из самых эволюционно древних растений, наряду с различными мхами и прочими низшими растениями.

Возможно, в этом есть какая-то закономерность: чем древнее биологическая форма, тем более ясно в ней прослеживается фрактал, что говорит о простых правилах, на которых строится форма организма.

Форма улитки точно соответствует логарифмической спирали, которая является одним из самых простых математических фракталов.

Прожилки листьев — плоский природный фрактал. Для каждого растения характерный рисунок уникален, как уникален папиллярный рисунок на руке человека.

Деревья фрактальны, но только в определенном диапазоне масштабов. Здесь четыре подобные развилки ветвей, а потом фрактальный закон роста ветвей, когда доходит до листьев, перестает действовать. Наверное, с возрастом у этого дерева может появиться и пятый и шестой уровни фрактала ветвей.

Это рентгеновский снимок кровеносных сосудов мозга. Очень красивый фрактал. Плавные линии характерны для фракталов, в которых участвуют потоки жидкостей.

Видно как переплетаются два отдельных фрактальных объекта — по одному подается венозная кровь, по-другому отводится обогащенная кислородом артериальная. А в совокупности легкое — потрясающая по сложности система трех фракталов — одного дыхательного и двух кровеносных.

Созерцание великого фрактального подобия

(с) «Галактика галактик»

Фракталы — не просто красивое природное явление. Согласно проведенным исследованиям, рассматривание фрактальных структур на 60 % повышает стрессоустойчивость, измеряемую на основе физиологических показателей. При созерцании фракталов в лобной коре головного мозга всего за одну минуту увеличивается активность альфа-волн — как во время медитации или при ощущении легкой сонливости.

Неудивительно, что фрактальный биодизайн оказывает на человека умиротворяющее воздействие. Нам нравится смотреть на облака, на языки пламени в камине, на листву в парке… Как это работает? Ученые предполагают, что естественный ход поисковых движений наших глаз — фрактальный. При совпадении размерности траектории движения глаз и фрактального объекта мы впадаем в состояние физиологического резонанса, за счет чего активизируется деятельность определенных участков мозга.

Но не все фракталы одинаково полезны. В данной статье расскажем о фрактальной размерности и о её влиянии на здоровье.

Биофракталы

(с)

Примеры фракталов в природе встречаются повсеместно: от ракушек до сосновых шишек. Каждый фрактал имеет математическую размерность D. Для человека наиболее полезны фракталы с размерностью 1,3—1,5, и большинство фрактальных объектов, созданных природой, имеют именно такую размерность. А глаз человека эстетически «настроен» на восприятие как раз таких, встречающихся в природе фракталов.

(с)

Прекрасным примером фракталов в природе являются деревья. Фракталы можно обнаружить на каждом уровне лесной экосистемы — от семян и сосновых шишек до ветвей и листьев. На иллюстрации выше запечатлена «застенчивая крона» — явление, когда кроны деревьев не соприкасаются, формируя локальные участки лесного полога.

С биологической точки зрения такое расположение крон объясняется естественным отбором — листья расположены как можно дальше друг от друга, чтобы максимизировать доступ к ресурсам, особенно к солнечному свету для фотосинтеза.

(с)

Итальянская капуста романеско имеет сверхэффективную конструкцию, позволяющую максимизировать воздействие солнечного света и транспортировать питательные вещества по всей клеточной структуре растения.

(с)

Однако размерность этой капусты — 2,66. Вообще, дробная размерность является ключевой особенностью фракталов. При этом большинство из них находится в плоскости между линией (размерность 1) и двухмерной поверхностью (размерность 2). Чем выше показатель, тем больше движение в сторону трехмерных объектов (размерность 3).

Компьютерные игры

Трехмерные фракталы — одни из самых редких в природе. Гораздо проще встретить их в виртуальной реальности. Например, в игре Marble Marcher — уникальной аркаде, где нужно прокатить шар к цели в пространстве, созданном единым всеобъемлющим алгоритмом. Практически все, что вы увидите в игре, создано не дизайнерами, а чистой математикой.

Yedoma Globula — это 3D-песочница на самописном движке, в которой можно исследовать процедурно создаваемые фрактальные ландшафты.

Фрактальные формулы можно использовать в компьютерной графике для создания реалистичных гор, рек, лесов и облаков. Игра Everything пошла гораздо дальше: в ней помимо визуальной составляющей в системообразующей части геймплея использовано фрактальное подобие. Тут фактически нет NPC-персонажей. Вы можете начать игру в образе свиньи, которая бродит по зеленым склонам и встречает дуб, а затем стать дубом, который отправится в самостоятельное путешествие.

Гаджеты

(с)

Использовать фракталы как «что-то полезное» можно не только в компьютерных играх или для релаксации. Именно фракталы подсказали способ уменьшения размера антенн для сотовых телефонов. Фрактальная геометрия расширяет способность создавать новые, более практичные устройства.

Сейчас фракталы используются в новом поколении спутниковой связи, в устройствах IoT и других проектах приема, передачи и преобразования радиоволн.

Архитектура

(с)

Фракталы можно использовать даже неосознанно. На фото выше изображен фрагмент купола иранской мечети. А здесь вы найдете множество фотографий потолков школ, культурных и религиозных сооружений в Иране, которые демонстрируют невероятно сложные фрактальные рельефы и мозаики, декорирующие изысканные архитектурные элементы.

(с)

Храм Деви Джагадамби в Кхаджурахо — отличный пример фрактальной архитектуры. Индийские и многие другие храмы Юго-Восточной Азии имеют фрактальную структуру: главная башня окружена башнями меньшего размера, те в свою очередь — еще более маленькими башнями. И так до восьми (а порой и больше) уровней, представляющих различные аспекты индуистского мифологического пантеона.

(с)

Фракталы в архитектуре — не уникальное изобретение одной части света. Сложное убранство готической, ренессансной и барочной архитектуры, особенно выраженное в соборах, часто демонстрирует фрактальное копирование и масштабирование на нескольких уровнях. Характерное для европейской архитектуры с конца XII в. переплетение арок скорее имело не эстетическое, а практическое значение: оно было разработано для укрепления окон и стен против давления ветра.

(c)

С конца XX века фрактальную геометрию использовали осознанно для создания интересных и приятных глазу фасадов. На фото — здание одного из самых сложных в архитектурном плане комплексов, расположенное в мельбурнском городском районе (Австралия). В комплексе объединены культурные, рекреационные и коммерческие проекты.

Опасные фракталы

(с)

Большинство фрактальных изображений, генерируемых математическими, естественными и человеческими процессами, обладают общим эстетическим качеством, основанным на визуальной сложности. Участники тестов визуального восприятия предпочитают фракталы именно естественного происхождения с размерностью 1,3—1,5. Для примера: волны и облака имеют размерность 1,3, береговая линия — 1,05.

(с)

А что, если увеличить размерность? Получившийся объект не всегда будет приятно разглядывать. На иллюстрации выше изображена картина распределения электрического разряда с размерностью 1,75, известная как фигура Лихтенберга, созданная высоковольтным электрическим разрядом на непроводящем материале.

Еще один отталкивающий объект — фрактальный продукт кристаллических структур с размерностью 1,8, сфотографированный через микроскоп.

Демосцена & софт

Пожалуй, нигде так красочно не исследовали мир фракталов, как в демосцене. Hartverdrahtet — достойный победитель конкурса демосцены 2012 года по 4-килобайтным файлам. Автор, Demoscene Passivist, говорит, что для создания демо с процедурно генерируемыми фрактальными ландшафтами потребовалось около двух месяцев.

А вот один из лучших проектов с фрактальными эффектами в демосцене. К сожалению, качество демонстрационного видео крайне плохое (из-за давности лет), но демо можно скачать и запустить на компьютере.

Для создания подобных или других фрактальных миров особых ухищрений не требуется. Есть несколько отличных программ, с помощью которых вы сможете самостоятельно изучать особенности фрактальной вселенной.

XaoS Open Source Project. Бесплатный, открытый, кроссплатформенный инструмент для масштабирования и изучения множества Мандельброта и десятков других фракталов.

JWildfire. Еще одна кроссплатформенная (в том числе с мобильной версией) программа, основанная на Java с открытым исходным кодом, для обработки изображений. Она известна в основном своим сложным генератором пламенных фракталов.

Mandelbulber | Mandelbulb3D. Превосходные бесплатные инструменты для создания трехмерных фракталов, таких как устрашающая Оболочка Мандельброта, загадочная «коробка» Мандельбокс и др. Mandelbulber несколько более функционален и быстр, но Mandelbulb3D чуть проще в использовании.

По ссылке вы найдете множество других программ.

Новое в блогах

Сообщество «Политика»

«Фрактал — великая тайна творения» Екатерина КОЖИЧ

Фрактал — великая тайна творения

Что объединяет течение рек и кровеносную систему человека, строение дерева и последние достижения в технике, творчество художников и строгую науку математику, раковину моллюска и герб России, поверхность Луны и экономику, голливудские блокбастеры и непостижимую сложность структуры Вселенной? Да и возможно ли найти у всего этого нечто общее, одинаковое? Оказывается, да.

Открытие Мандельброта

Это структура фракталов — основа построения нашего столь многообразного мира. Фракталы повсюду. Нет в природе формы, будь то живая или неживая материя, которая бы не имела к ним отношения. Горы, реки, облака, наконец, живые существа созданы Творцом по одному принципу, который так долго искала и не могла найти наука. Никто из великих математиков прошлого не мог научным языком описать хаотичность и непредсказуемость природы. Это считалось попросту невозможным. Однако во второй половине XX века один французско-американский математик, использовав в полной мере свое исключительное воображение, пришел к гениальному открытию, буквально взорвавшему классическую науку. Его имя Бенуа Мандельброт. Об этом удивительном человеке говорили, что он умеет заглядывать за пределы нашего трехмерного мира и там, в загадочном четвертом измерении, усматривать единую связь якобы разрозненных явлений.

До Мандельброта базой математики считалась Эвклидова геометрия, которая ограничивалась описанием искусственных тел, принадлежащих трем пространственным измерениям. Неоднократные попытки проникнуть в иные миры предпринимались разными известными математиками: Н. Лобачевским, Г. Минковским, Г. Риманом и другими. Но их сложные математические конструкции описывали некие абстрактные модели и были далеки от проблем привычного мира.

Мандельброт, напротив, предложил новый подход к геометрии, где первичны не сложнейшие формулы, под которые как бы подгоняется наше бытие (а оно, надо сказать, никак не желает в них вписываться), а поиск формул и зависимостей величин, исходя из этой самой непредсказуемой и капризной реальности. От обратного. От того, что есть на самом деле. Это новое направление в математике получило название «фрактальная геометрия», суть которой выражена знаменитым множеством Мандельброта.

Справедливости ради надо отметить, что первенство открытия множества принадлежит другому французскому ученому, Пьеру Фату. Это открытие было сделано еще в 1905 году. Мандельброт продолжил и завершил его работу, и результатом стала книга «Фрактальная геометрия природы». В ней впервые был введен термин «фрактал».

Удивительные «монстры»

Так что же это такое за феномен — фрактал? Слово происходит от латинского fractus и означает «сломанный», «разбитый». Отсюда же и слово «фракция» — отдельная часть чего-то общего. Под фракталами понимают некие ветвящиеся в бесконечность объекты, которые имеют структуру самоподобия, то есть повторения своих элементов при любом масштабе. Иными словами, любой мельчайший кусочек фигуры воспроизводит ее в целом. Но это не совсем точное определение, ведь фокус в том, что охватить всю фигуру как раз и невозможно — она бесконечна, и мы всегда вынуждены довольствоваться лишь частью, вырванной из контекста беспредельности.

Еще до работ Мандельброта в математике уже были описаны любопытные построения неких объектов, не имеющих конца. Их назвали жутковато — «математическими монстрами».

Представьте, что вы поделили стороны равностороннего треугольника пополам и построили внутри новый треугольник с вершинами в полученных точках. Общая фигура теперь состоит из четырех одинаковых треугольников. Затем вы повторили операцию с каждым получившимся и опять не поленились поделить треугольнички. Продолжать можно столько, сколько хватит терпения и места на бумаге. Оказывается, в итоге вы превратили банальную математическую форму в сложный объект, известный как «треугольник Серпинского», и. нарисовали пример фрактала! Во фракталы, как вы уже поняли, несложно преобразовать любую фигуру, и не только, кстати, на плоскости, если у вас хорошее пространственное воображение.

Они повсюду!

Но нас сейчас интересуют вовсе не логика и завершенность чистой математики — мы собрались поговорить как раз об обратном, о непредсказуемости окружающего нас мира.

Какая уж тут, скажете, логика. И ошибетесь! Взгляните, к примеру, на дерево. На первый взгляд, никакой системы — растет себе представитель флоры и, как ему полагается, раскинул ветвистую крону во все стороны нам на радость. Стоп! Присмотримся внимательнее: из земли вырастает толстый ствол, от него отходит несколько крупных ветвей, каждая из которых делится на более тонкие, от них отходят еще и еще, до совсем тоненьких прутиков, на которых дрожат на ветру листочки. Но это же схема классического фрактала! И прожилки на листьях, и корневая система ей полностью соответствуют. Русла рек, клубящиеся облака, горные хребты, изрезанная береговая линия материков, лунные кратеры — это все, оказывается, природные образцы фрактальных структур.

А мы, люди, чем не живые примеры фракталов? В нашем теле их сколько угодно. Кости скелета, дыхательная, нервная и кровеносная системы, подобно дереву, ветвятся от крупных главных стволов до мельчайших микроскопических прожилок. Если сложить в длину паутину кровеносных сосудов человека, получится около 96 ООО километров. Почти две с половиной длины экватора! А если вытянуть всего лишь одну ДНК из ядра любой клетки и «раскрутить» в прямую, ее длина составит примерно два метра. Ученые подсчитали: длина всех ДНК в теле одного человека составит расстояние, в 260 раз большее дистанции до Луны и обратно! И возможно подобное лишь благодаря «графическому» секрету Создателя — ветвящимся от большого к малому структурам, фракталам. Человек и животные, соцветия растений и деревья, кратеры Луны и снежинки — все подчинено удивительной гармонии математики фракталов.

Еще в XIII веке итальянским математиком Фибоначчи был открыт интересный числовой ряд, названный его именем. В этом ряду каждое последующее число является суммой двух предыдущих: 1, 1, 2, 3, 5,8 и т.д. Если построить график данных чисел, получится раскручивающаяся бесконечная спираль. И что любопытно, именно этот числовой порядок использует природа в своих творениях: семена подсолнуха и сосновые шишки, лепестки цветков, раковины некоторых моллюсков, глаза стрекозы, рукава спиральных галактик — все это точно соответствует числам Фибоначчи и бесконечности фрактальных форм.

А возможно, и сама наша необъятная Вселенная является неким гигантским фракталом, в свою очередь — страшно подумать — также вписанным куда-то? Конечно, нам многое еще неизвестно, и это пока лишь красивая гипотеза, но кто знает. В невообразимо крошечных атомах электроны вращаются вокруг ядер. В космических системах планеты кружат по орбитам вокруг звезд. Звезды обращаются вокруг центров своих галактик, те также привязаны к неким общим центрам. А что же там дальше? И быть может, познав себя в малом, мы когда-нибудь проникнем в самую запредельную тайну мироздания.

На службе людям

Перспективы науки велики и безграничны, но уже сегодня фрактальная геометрия успешно используется на благо людям. И наиболее активно — в сфере новейших технологий. Современные беспроводные средства связи (да-да, и ваш мобильный телефон не исключение!) применяют антенны и микросхемы, сконструированные по ветвящемуся фрактальному принципу. Это позволяет многократно увеличить скорость и объем передачи данных.

Старается не отстать от полезных новшеств и медицина. Оказывается, даже биение нашего сердца и движение глаза соответствуют неким фрактальным ритмам. Медики утверждают: когда они научатся отличать правильные ритмы от неправильных, возникающих в случае болезни, диагностика заболеваний сделает огромный шаг вперед.

Уже сегодня благодаря анализу фрактальных колебаний стало возможным распознавать микроскопические, размером с крошечную долю миллиметра, злокачественные образования на ранних стадиях, что, безусловно, поможет врачам победить самого коварного врага человечества — рак.

Таинственные закономерности фракталов не оставили равнодушными и другие социальные институты. Цикличность различных общественных и природных процессов была открыта давно, но до сих пор постигалась на ощупь, праетически вслепую. Новая научная концепция, похоже, расширила горизонты ученых. Экономика, социология, климатология — далеко не полный перечень областей, где теория фракталов, а точнее неких космических повторяющихся ритмов, которые следует изучать, может найти свое применение.

В сфере развлечений на передовых позициях применения фрактальных форм, разумеется, оказался практичный Голливуд. Художники по спецэффектам, без которых в наше время не обходится ни один блокбастер, утверждают, что теперь им под силу создать «в реальности» любой пейзаж: от величественной горной гряды до затерянной в космосе чужой планеты.

И уж конечно, фантастическую красоту фракталов по достоинству оценили художники, породив целое направление компьютерной графики. Впрочем, задолго до изобретения первого компьютера знаменитый японский художник XVIII-XIX веков Кацусика Хокусай благодаря чуткой художественной интуиции смог раскрыть тайну форм природы и филигранно передать ее фрактальную сущность на своих полотнах.

Кстати, фракталы можно обнаружить в самом неожиданном месте. На гербе нашей страны, как известно, изображен двуглавый золотой орел, гордо держащий в лапе скипетр, вершину которого венчает. такой же орел со скипетром, который. Да-да! Картинка повторяется, уходя в бесконечность! Так что, дорогие россияне, наш герб включает в себя самый настоящий фрактал, возможно, как символ бесконечности нашей истории и самовозрождения подобно мифическому фениксу.

Много тайн хранят в себе фракталы, мы лишь прикоснулись к ним. Будем надеяться, что когда-нибудь наши потомки непременно продвинутся по удивительной спирали мира фракталов вглубь и вширь, подберут ключи к великим секретам нашего главного математика — природы. Математика или. художника? А быть может, поэта или философа.